ПОЛНОТА АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

ПОЛНОТА АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ —логико-методологическое требование, предъявляемое к аксиоматически построенным теориям и заключающееся в том, что в данной аксиоматической, формальной системе должны быть доказаны (т. е. выведены из аксиом) все истинные предложения этой теории. В связи с различением синтаксических и семантических аксиоматических теорий (Аксиоматический метод) требование полноты дифференцируется; выделяется синтаксическая полнота в слабом смысле (все предложения, принадлежащие нек-рой системе, выводимы или опровергаемы в ней) и в сильном смысле (после прибавления к аксиомам предложения, не выводимого в этой системе, она становится противоречивой), семантическая полнота относительно определенной модели (каждое предложение, соответствующее истинному высказыванию в данной модели, выводимо в этой системе) и т. д. В ходе исследований достаточно богатых аксиоматических теорий (напр., арифметики) была доказана (Гёдель — 1931 и последующие результаты) их принципиальная неполнота, т. е. наличие таких предложений, к-рые в их рамках недоказуемы и неопровергаемы. Требование полноты не является совершенно неизбежным условием успешной аксиоматизации: неполные теории могут иметь успешные практические приложения.